Moszyński - ćwiczenia

Ktoś wie jak ugryźć zadanie domowe?

Ach to forum - nigdy nie zawodzi. Rozwiązywanie zadań z pmatu na pierwszym semestrze = nvr 4get.

Otóż mam ten sam problem

Ja zrobiłem do tej pory podpunkt pierwszy. Ale założyłem, że w treści zadania jest jakiś błąd, ponieważ ciąg a_n nie powinien się zmieniać i ma tylko N elementów (zmieniłem po prostu wzór na sumę, tak żeby przesuwać z_j tak samo jak na programie z labów).
Podstawiłem wzory, przesumowałem inaczej i wyszło mi, że faktycznie równość jest spełniona.

A jakieś pomysły co do 2 i 3?
W 2 myślę, że chyba wystarczy pokazać bazę i że ma N elementów. A bazą chyba może być sam ciąg z(0) ... z(N-1), bo każdy kolejny z(i) jest kombinacją liniową poprzednich. Czy o to chodzi?

No niestety, nie do końca.

W 2 nie mamy przestrzeni z, lecz przestrzeń ciągów z. Tak więc, pomysł wskazania bazy jest dobry, ale w przestrzeni znajdują się nie tyle wektory, co całe ciągi ztów i to trochę komplikuje sprawę. Ale chyba nie jakoś bardzo, bo jest robialne

3 jest również dość proste. Zastanówcie się, który wyraz dominuje w definicji z z pkt. a.

Pierwsze faktycznie proste, natomiast z drugim i trzecim dalej mam problemy.

W drugim wg tego co mówił Moszyński bazami są {E_i^0, E_i^1, ... , E_i^n} dla dowolnych i. Wydaje się też oczywiste, że wymiar bazy nie może być większy od N, bo wtedy dla np. N+1 elementów możemy wziąć jego kombinację liniową z { a_0, a_1, ... , a_n } i wychodzi nam zero z definicji ciągu z.

Jeszcze raz: to nie jest przestrzeń ztow, tylko przestrzeń ciągów ztow, które otrzymujemy wg. wzoru podanego z (4). Więc bazą tej przestrzeni jest N ciągów.

Ktoś ma pomysł na współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej?
Drugie zadanie rozgryzłem, ale w pierwszym nie wiem jak fakt że macierz jest symetryczna ma mi pomóc. Bo jeśli jest odwracalna to już łatwo dojść do wyniku...

Hej,
Znalazłem coś na ten temat:

Code:

http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/metnum12/wyklad02.pdf


Ale sam niestety tego nie ogarniam jeszcze

Drugie zrobiłem na podstawie ważniaka, ale nie jestem jeszcze pewien dlaczego jest tak:

jeśli: x_(k+1) = C * x_k + d
to: x_k - x = C^k (x_0 - x)

Gdzie x to rozwiązanie, a x_k i x_0 to przybliżenia.
C jest macierzą z metody iteracyjnej.

Czy tak to się po prostu rozwija?

juho wrote:Hej,
Znalazłem coś na ten temat:

Code:

http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/metnum12/wyklad02.pdf


Ale sam niestety tego nie ogarniam jeszcze

Ale tam jest symetryczna macierz odwracalna. U nas nie wiadomo, czy jest odwracalna. Co wtedy? Przypadek, gdy jest odwracalna jest prosty...

juho wrote:
Drugie zrobiłem na podstawie ważniaka, ale nie jestem jeszcze pewien dlaczego jest tak:

jeśli: x_(k+1) = C * x_k + d
to: x_k - x = C^k (x_0 - x)

Gdzie x to rozwiązanie, a x_k i x_0 to przybliżenia.
C jest macierzą z metody iteracyjnej.

Czy tak to się po prostu rozwija?

Trzeba policzyć normę nieskończoną macierzy C. Musi być mniejsza od 1 żeby ciąg był zbieżny i chyba tyle.

Nie obliczysz wskaźnika uwarunkowania zadania dla macierzy nieodwracalnej. Bo wskaźnik uwarunkowania zadania to |A||A^-1|. Dla macierzy nieodwracalnych umownie definiuje się, że wskaźnik ten jest nieskończoność.

Ok, dzięki, ale w takim razie po co jest warunek symetryczności? To, że normą euklidesową macierzy jest maksimum z wartości własnych jest prawdą dla każdej macierzy. To, że wartościami własnymi macierzy odwrotnej są odwrotności wartości własnych macierzy wyjściowej też działa dla dowolnej macierzy. Więc po co ta symetryczność?

Nie znam treści zadania

To co napisałeś jest chyba nieprawdą. Norma euklidesowa jest pierwiastkiem największej wartości własnej macierzy A^T*A.
Wyjaśnienie: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm

To też tłumaczy dlaczego to jest prawda dla macierzy symetrycznej

Masz rację, powoli zaczyna mi się to rozjaśniać. Wielkie dzięki jeszcze raz.