Rozwiązania zadań z poprzednich kolokwiów (profit)

Kilka osób mnie o to prosiło, więc zamieszczam nasze (Pawła, Łukasza i moje) rozwiązania zadań z poprzednich kolokwiów. Są tylko pewne uwagi:
-nie wszystko może być dobrze rozwiązane
-brakuje kilku zadań, które uznaliśmy za zbyt trudne, lub zbyt trywialne ( )
-moje pismo odręczne to Comic Sans
-jedna kartka jest dla żartów do góry nogami

Powodzenia na kolokwium

http://students.mimuw.edu.pl/~fd305199/RP/

W trzecim byłoby OK, gdyby nie to, że zmienne Xij są zależne.
A wtedy wartość oczekiwana przestaje być addytywna.

W szczególności dla n=4 wyszłoby Ci 4 * (1/2)^5 = 1/2^3, a wynik to:

szansa na jedną mini wyspę: 4 * 1/2 * 1/2^5 = 1/2^4 //wybieramy jedną z czterech możliwości ustawienia wyspy, nie może być drugiej, więc mamy 6 pól do ustawienia

szansa na dwie mini wyspy: 2 * 1/2 ^ 8 = 1/2^7 // wybieramy jedną z dwóch potencjalnych par, ustawiamy te dwa pola i 6 zależnych od nich

czyli wartość oczekiwana to 1/2^4 + 2*1/2^7 = 1/2^4(1+1/4).
Narysuj sobie n=4 to zobaczysz, czemu takie liczby

Wartość oczekiwana jest liniowa, nawet gdy zmienne nie są niezależne. A liniowość to: E(X+Y) = EX+EY oraz E(cX) = cE(X).

Jak są zależne, to nie zachodzi multiplikatywność

Wow, masz (macie) rację. Dzięki!
To zostaje podpunkt c.
Oszacowanie przez 31/32 * (n /3) ^ 2 jest słabe, dla n > 3 to jest większe od 1.

Hmm.. To może coś źle obliczyłem.. Ten pomysł oszacowania został podany przez wykładowcę na konsultacjach. Ale faktycznie wygląda jakoś mizernie
Gdzie mogłem zrobić błąd?

Tam powinna być suma, nie iloczyn? wtedy by było (31/32)^ (n +- kilka)

Taak.. Tam chodziło o to, że uniezależniamy zdarzenia (kwadraty 3x3 są niezależne bo bierzemy tylko wysepke w środku kwadratu) i p(x=0) = iloczyn z tych kwadratow i korzystajac z niezaleznosci dostajemy to takie fajne cos do ntej ktore jest juz solidnym ograniczeniem

Grzesiu, mówiłem Ci już, że masz sexy avatar?

Pytanie do tematu. Dobrze rozumiem, że kolokwium obejmuje wykłady 1-6 z tego świętego miejsca:
http://smurf.mimuw.edu.pl/drupal6/node/1179

?

OFC.

Tak, 6 wykladow

Z tymi wirusami jest jakiś fake. Nie rozumiem skad to xi zalezy od xi-1, ta zaleznosc nie jest taka prosta, bo xi-1 moze byc bardzo rozne.

Po cięzkich analizach z Adrianem doszliśmy do wniosku, że to zadanie najprawdopodobniej jest z lancuchow markowa wiec nie musimy go umiec (prawdopodobienstwo nastepnego zdarzenia zalezy od wyniku poprzedniego)

edit: Się na ćwiczeniach okazało, że się z Adrianem myliliśmy i to jest zadanie podobne do tych w stylu modelu urnowego polyi

W zadaniu z pogodą, w części a) jest błąd, który pomógł mi znaleźć Wojtek
Jakoś szczęśliwie wynik się zgadza, ale zrobiliśmy fałszywe założenia co do treści zadania.

Rozwiązanie poprawne to równanie z jedną niewiadomą:

D -> 1 - pada; 0 - nie pada
Pr -> 1 - "będzie deszcz"; 0 - "będzie słońce"
P(D=1) = P(D=0) = 1/2
P(D=1 | Pr = 1) = P(D=0 | Pr = 0) = 2/3
P(D=0 | Pr = 1) = P(D=1 | Pr = 0) = 1/3

Szukamy: P(Pr=1) = 1 - P(Pr=0) = ?

Z prawdopodobieństwa całkowitego:
P(D=1) = P(D=1 | Pr=1)*P(Pr=1) + P(D=1 | Pr=0)*P(Pr=0)
1/2 = (2/3)x + (1/3)(1-x)
x = 1/2

Czy zadanie z egzaminu z 2009: klik

zadanie drugie - czy to jest z łancuchów markowa, czy może ktoś to mądrze policzył w swej niezłomności w trzepaniu zadanek?

drugie jak drugie, ale to trzecie wygląda na zupełnie normalne a jak przychodzi do punktu a) to optyka postrzegania go się zmienia diametralnie. Za co to ugryźć?

P(X=m)=Suma po i (P(X=m,Y=i)).
gl

a zrobiłeś to drugie?

Gricha: Tak, dzisiaj na konsultacjach dr Kowalik tak stwierdził
kutino: bardzo prosto. Najpierw liczysz sumę nieskończoną po n, żeby obliczyć P(X=m) tak samo dla Y i z definicji. Też rozwiązanie od Kowalika.

dziękuję serdecznie. dobrze wiedzieć że drugie może jeszcze poczekać.

Podobno zadanie z wirusami było u Muchy. Jak je zrobić?

zgadnąć, że wynik to x/(x+y) i udowodnić jakąś indukcją

Pytanie do egzaminu poprawkowego z 2009 podpunkt b

Jak to tam trzeba policzyć? Z podpunktu a) wynika, że jesli p = prawdopodobienstwo ze wyklad jest interesujacy, to szukane P(zdarzenie) = (2+p)/3.

Ale widać, że dla podpunktu drugiego nie możemy dawać dowolnych wartości p, bo jeśli np. p=0, to mówimy, że wykład jest interesujący na 66%, no ale przecież takich wykładów nie ma.

Gricha wrote:Pytanie do egzaminu poprawkowego z 2009 podpunkt b

Jak to tam trzeba policzyć? Z podpunktu a) wynika, że jesli p = prawdopodobienstwo ze wyklad jest interesujacy, to szukane P(zdarzenie) = (2+p)/3.

Ale widać, że dla podpunktu drugiego nie możemy dawać dowolnych wartości p, bo jeśli np. p=0, to mówimy, że wykład jest interesujący na 66%, no ale przecież takich wykładów nie ma.

Wydaje mi się, że $$p \le \frac{12}{13}$$ i dowodziłbym tego tak, że maksymalizuję liczbę wykładów interesujących na których studenci nie ziewają, czyli jeżeli wykład jest interesujący to nie ziewają. Wówczas $$p = \frac{|Interesujące|}{|Interesujące \cup (Nudne \cap Nieziewają)|} = \frac{12}{13}$$